Ранее вводились понятия:
(27,27,27)-группы(28,28,28)-группы(34,34,34)-группыБудем их обозначать 27-группа, 28-группа и 34-группа соответственно. И, вообще, пусть X обозначает
номер циклической структуры. Разделим строку 0123456789 на отрезки в соответствии с этой циклической структурой и найдём все строки получающиеся из исходной строки циклическим сдвигом элементов отрезков и перестановкой отрезков одинаковой длины. Например, для X=28 имеем циклическую структуру {1,3,6} и получим следующую совокупность из 18 строк:
Код:
[0][123][456789] = 0123456789
[0][123][567894] = 0123567894
[0][123][678945] = 0123678945
[0][123][789456] = 0123789456
[0][123][894567] = 0123894567
[0][123][945678] = 0123945678
[0][231][456789] = 0231456789
[0][231][567894] = 0231567894
[0][231][678945] = 0231678945
[0][231][789456] = 0231789456
[0][231][894567] = 0231894567
[0][231][945678] = 0231945678
[0][312][456789] = 0312456789
[0][312][567894] = 0312567894
[0][312][678945] = 0312678945
[0][312][789456] = 0312789456
[0][312][894567] = 0312894567
[0][312][945678] = 0312945678
А для X=22 имеем циклическую структуру {1,1,8} и получим следующую совокупность из 16 строк:
Код:
[0][1][23456789] = 0123456789
[0][1][34567892] = 0134567892
[0][1][45678923] = 0145678923
[0][1][56789234] = 0156789234
[0][1][67892345] = 0167892345
[0][1][78923456] = 0178923456
[0][1][89234567] = 0189234567
[0][1][92345678] = 0192345678
[1][0][23456789] = 1023456789
[1][0][34567892] = 1034567892
[1][0][45678923] = 1045678923
[1][0][56789234] = 1056789234
[1][0][67892345] = 1067892345
[1][0][78923456] = 1078923456
[1][0][89234567] = 1089234567
[1][0][92345678] = 1092345678
Полученные строки будем рассматривать как перестановки. Очевидно, что эти перестановки составляют группу, которую будем называть X-группой для соответствующего X.
Поищем ЛК с симметриями (x,34,34) x in {10,11,18,19,33}1) Перечислим ЛК с симметрией (10,34,34).
В качестве стандартного представителя симметрии (10,34,34) возьмём автоморфизм:
Код:
** 1032567894 1032567894 0123645978
Всякий ЛК со стандартным представлением симметрии (10,34,34) будет иметь следующую структуру:
1) блок A 2x2 (а также блоки B, D, E): диагонали либо 00, либо 11, либо 22, либо 33;
2) блок C 2x6 (а также блок F, и блоки 6x2 G, H): одна прямая ломанная диагональ есть циклический сдвиг строки 456456, другая — 789789;
3) блок I 6x6: две прямые ломанные диагонали суть циклические сдвиги строк 456456 и 789789, остальные четыре суть 000000, 111111, 222222, 333333.
Например:
Код:
2 1 0 3 6 7 5 9 4 8
1 2 3 0 9 4 8 6 7 5
3 0 1 2 7 5 9 4 8 6
0 3 2 1 4 8 6 7 5 9
9 6 7 4 8 0 3 5 2 1
4 7 5 8 1 9 0 3 6 2
8 5 9 6 2 1 7 0 3 4
6 9 4 7 5 2 1 8 0 3
7 4 8 5 3 6 2 1 9 0
5 8 6 9 0 3 4 2 1 7
К ЛК со стандартным представлением симметрии (10,34,34) применимы следующие эквивалентные преобразования:
1) произвольная 34-перестановка строк;
2) произвольная 34-перестановка столбцов;
3) переименование элементов в соответствии с произвольной 10-перестановкой;
4) транспонирование.
Используя допустимые эквивалентные преобразования, всякий ЛК со стандартным представлением симметрии (10,34,34) можно всегда привести к "нормальному" виду:
Код:
0 1 2 3 4 . 6 . 5 .
1 0 3 2 . 5 . 4 . 6
2 3 . . . . . . . .
3 2 . . . . . . . .
4 . . . . . . . . .
. 5 . . . . . . . .
6 . . . . . . . . .
. 4 . . . . . . . .
5 . . . . . . . . .
. 6 . . . . . . . .
Для нормального ЛК блок E имеет два варианта:
Существует 24 варианта заполнения пары блоков C+F (аналогично для пары блоков G+H). Блок I полностью определяется своей первой строкой. То есть для перечисления нормальных ЛК со стандартным представлением симметрии (10,34,34) нужно для каждого из 1152 вариантов заполнения блоков E, C+F и G+H найти все корректные заполнения первой строки блока I.
Всего существует 92160 нормальных ЛК со стандартным представлением симметрии (10,34,34), существенно различных из них — 355.
Симметрия (10,34,34) подчинена симметриям (1,31,31) и (10,10,10). 11 ЛК обладают одновременно симметриями (10,34,34) и (33,34,34). Марьяжных ДЛК с симметрией (10,34,34) не существует.
2) Перечислим ЛК с симметрией (11,34,34).
В качестве стандартного представителя симметрии (11,34,34) возьмём автоморфизм:
Код:
** 1032567894 1032567894 0123945678
Всякий ЛК со стандартным представлением симметрии (11,34,34) будет иметь следующую структуру:
1) блок A 2x2 (а также блоки B, D, E): диагонали либо 00, либо 11, либо 22, либо 33;
2) блок C 2x6 (а также блок F, и блоки 6x2 G, H): обе прямые ломанные диагонали суть циклические сдвиги строки 456789;
3) блок I 6x6: две прямые ломанные диагонали суть циклические сдвиги строки 456789, остальные четыре суть 000000, 111111, 222222, 333333.
Например:
Код:
2 1 0 3 6 9 8 5 4 7
1 2 3 0 8 7 4 9 6 5
3 0 1 2 7 4 9 6 5 8
0 3 2 1 9 8 5 4 7 6
5 9 6 4 0 3 7 2 8 1
4 6 5 7 1 0 3 8 2 9
7 5 8 6 4 1 0 3 9 2
6 8 7 9 2 5 1 0 3 4
9 7 4 8 5 2 6 1 0 3
8 4 9 5 3 6 2 7 1 0
К ЛК со стандартным представлением симметрии (11,34,34) применимы следующие эквивалентные преобразования:
1) произвольная 34-перестановка строк;
2) произвольная 34-перестановка столбцов;
3) переименование элементов в соответствии с произвольной 11-перестановкой;
4) транспонирование.
Используя допустимые эквивалентные преобразования, всякий ЛК со стандартным представлением симметрии (11,34,34) можно всегда привести к "нормальному" виду:
Код:
0 1 2 3 4 . 6 . 8 .
1 0 3 2 . 5 . 7 . 9
2 3 . . . . . . . .
3 2 . . . . . . . .
4 . . . . . . . . .
. 5 . . . . . . . .
6 . . . . . . . . .
. 7 . . . . . . . .
8 . . . . . . . . .
. 9 . . . . . . . .
Для нормального ЛК блок E имеет два варианта:
Существует 12 вариантов заполнения пары блоков C+F (аналогично для пары блоков G+H). Блок I полностью определяется своей первой строкой. То есть для перечисления нормальных ЛК со стандартным представлением симметрии (11,34,34) нужно для каждого из 288 вариантов заполнения блоков E, C+F и G+H найти все корректные заполнения первой строки блока I.
Всего существует 9216 нормальных ЛК со стандартным представлением симметрии (11,34,34), существенно различных из них — 92.
Симметрия (11,34,34) подчинена симметриям (8,31,31) и (10,10,10). Марьяжных ДЛК с симметрией (11,34,34) не существует.
3) Перечислим ЛК с симметрией (18,34,34).
В качестве стандартного представителя симметрии (18,34,34) возьмём автоморфизм:
Код:
** 1032567894 1032567894 0132645978
Всякий ЛК со стандартным представлением симметрии (18,34,34) будет иметь следующую структуру:
1) блок A 2x2 (а также блоки B, D, E): на одной диагонали {2,3}, а другая либо 00, либо 11;
2) блок C 2x6 (а также блок F, и блоки 6x2 G, H): одна прямая ломанная диагональ есть циклический сдвиг строки 456456, другая — 789789;
3) блок I 6x6: две прямые ломанные диагонали суть циклические сдвиги строк 456456 и 789789, две — циклические сдвиги строки 232323, одна — 000000, и одна — 111111.
Например:
Код:
3 1 2 0 9 4 8 6 7 5
1 2 0 3 6 7 5 9 4 8
0 3 1 2 4 8 6 7 5 9
2 0 3 1 7 5 9 4 8 6
9 6 7 4 8 2 0 5 1 3
4 7 5 8 2 9 3 0 6 1
8 5 9 6 1 3 7 2 0 4
6 9 4 7 5 1 2 8 3 0
7 4 8 5 0 6 1 3 9 2
5 8 6 9 3 0 4 1 2 7
К ЛК со стандартным представлением симметрии (18,34,34) применимы следующие эквивалентные преобразования:
1) произвольная 34-перестановка строк;
2) произвольная 34-перестановка столбцов;
3) переименование элементов в соответствии с произвольной 18-перестановкой;
4) транспонирование.
Используя допустимые эквивалентные преобразования, всякий ЛК со стандартным представлением симметрии (18,34,34) можно всегда привести к "нормальному" виду:
Код:
0 2 1 3 4 . 6 . 5 .
3 0 2 1 . 5 . 4 . 6
1 3 0 2 . . . . . .
2 1 3 0 . . . . . .
4 . . . . . . . . .
. 5 . . . . . . . .
6 . . . . . . . . .
. 4 . . . . . . . .
5 . . . . . . . . .
. 6 . . . . . . . .
Для нормального ЛК существует 24 варианта заполнения пары блоков C+F (аналогично для пары блоков G+H). Блок I полностью определяется своей первой строкой. То есть для перечисления нормальных ЛК со стандартным представлением симметрии (18,34,34) нужно для каждого из 576 вариантов заполнения блоков C+F и G+H найти все корректные заполнения первой строки блока I.
Всего существует 18432 нормальных ЛК со стандартным представлением симметрии (18,34,34), существенно различных из них — 230.
Симметрия (18,34,34) подчинена симметриям (2,31,31) и (10,10,10). Марьяжных ДЛК с симметрией (18,34,34) не существует.
4) Перечислим ЛК с симметрией (19,34,34).
В качестве стандартного представителя симметрии (19,34,34) возьмём автоморфизм:
Код:
** 1032567894 1032567894 0132945678
Всякий ЛК со стандартным представлением симметрии (19,34,34) будет иметь следующую структуру:
1) блок A 2x2 (а также блоки B, D, E): на одной диагонали {2,3}, а другая либо 00, либо 11;
2) блок C 2x6 (а также блок F, и блоки 6x2 G, H): обе прямые ломанные диагонали суть циклические сдвиги строки 456789;
3) блок I 6x6: две прямые ломанные диагонали суть циклические сдвиги строки 456789, две — циклические сдвиги строки 232323, одна — 000000, и одна — 111111.
Например:
Код:
1 2 0 3 6 9 8 5 4 7
3 1 2 0 8 7 4 9 6 5
2 0 3 1 9 8 5 4 7 6
0 3 1 2 7 4 9 6 5 8
5 9 6 4 0 2 7 1 8 3
4 6 5 7 2 0 3 8 1 9
7 5 8 6 4 3 0 2 9 1
6 8 7 9 1 5 2 0 3 4
9 7 4 8 5 1 6 3 0 2
8 4 9 5 3 6 1 7 2 0
К ЛК со стандартным представлением симметрии (19,34,34) применимы следующие эквивалентные преобразования:
1) произвольная 34-перестановка строк;
2) произвольная 34-перестановка столбцов;
3) переименование элементов в соответствии с произвольной 19-перестановкой;
4) транспонирование.
Используя допустимые эквивалентные преобразования, всякий ЛК со стандартным представлением симметрии (19,34,34) можно всегда привести к "нормальному" виду:
Код:
0 2 1 3 4 . 6 . 8 .
3 0 2 1 . 5 . 7 . 9
1 3 0 2 . . . . . .
2 1 3 0 . . . . . .
4 . . . . . . . . .
. 5 . . . . . . . .
6 . . . . . . . . .
. 7 . . . . . . . .
8 . . . . . . . . .
. 9 . . . . . . . .
Для нормального ЛК существует 12 вариантов заполнения пары блоков C+F (аналогично для пары блоков G+H). Блок I полностью определяется своей первой строкой. То есть для перечисления нормальных ЛК со стандартным представлением симметрии (19,34,34) нужно для каждого из 144 вариантов заполнения блоков C+F и G+H найти все корректные заполнения первой строки блока I.
Всего существует 2304 нормальных ЛК со стандартным представлением симметрии (19,34,34), существенно различных из них — 86.
Симметрия (19,34,34) подчинена симметриям (16,31,31) и (10,10,10). Марьяжных ДЛК с симметрией (19,34,34) не существует.
5) Перечислим ЛК с симметрией (33,34,34).
В качестве стандартного представителя симметрии (33,34,34) возьмём автоморфизм:
Код:
** 1032567894 1032567894 1032645978
Всякий ЛК со стандартным представлением симметрии (33,34,34) будет иметь следующую структуру:
1) блок A 2x2 (а также блоки B, D, E): на одной диагонали {0,1}, а на другой {2,3};
2) блок C 2x6 (а также блок F, и блоки 6x2 G, H): прямые ломанные диагонали суть циклические сдвиги строк 456456 и 789789;
3) блок I 6x6: две прямые ломанные диагонали суть циклические сдвиги строки 010101, другие две — циклические сдвиги строки 232323, и последние две — циклические сдвиги строк 456456, 789789.
Например:
Код:
3 1 2 0 9 4 8 6 7 5
0 2 1 3 6 7 5 9 4 8
1 3 0 2 4 8 6 7 5 9
2 0 3 1 7 5 9 4 8 6
9 6 7 4 8 2 0 5 1 3
4 7 5 8 2 9 3 1 6 0
8 5 9 6 1 3 7 2 0 4
6 9 4 7 5 0 2 8 3 1
7 4 8 5 0 6 1 3 9 2
5 8 6 9 3 1 4 0 2 7
К ЛК со стандартным представлением симметрии (33,34,34) применимы следующие эквивалентные преобразования:
1) произвольная 34-перестановка строк;
2) произвольная 34-перестановка столбцов;
3) переименование элементов в соответствии с произвольной 33-перестановкой;
4) транспонирование.
Используя допустимые эквивалентные преобразования, всякий ЛК со стандартным представлением симметрии (33,34,34) можно всегда привести к "нормальному" виду:
Код:
0 2 1 3 4 . 6 . 5 .
3 1 2 0 . 5 . 4 . 6
1 3 0 2 . . . . . .
2 0 3 1 . . . . . .
4 . . . . . . . . .
. 5 . . . . . . . .
6 . . . . . . . . .
. 4 . . . . . . . .
5 . . . . . . . . .
. 6 . . . . . . . .
Для нормального ЛК существует 24 варианта заполнения пары блоков C+F (аналогично для пары блоков G+H). Блок I полностью определяется своей первой строкой. То есть для перечисления нормальных ЛК со стандартным представлением симметрии (33,34,34) нужно для каждого из 576 вариантов заполнения блоков C+F и G+H, найти все корректные заполнения первой строки блока I.
Всего существует 9216 нормальных ЛК со стандартным представлением симметрии (33,34,34), существенно различных из них — 87.
Симметрия (33,34,34) подчинена симметриям (4,31,31) и (10,10,10). Марьяжных ДЛК с симметрией (33,34,34) не существует.
Итак, завершена тотальная проверка ещё одного куста симметрий (x,34,34) x in {10,11,18,19,33}. Оказалось, что все симметрии этого куста подчинены симметриям уже проверенного куста (x,31,31) x in {1,2,4,8,16}, то есть все ЛК этого куста были проверены ранее. Теперь показано, что других ЛК этот куст не содержит. Также оказалось, что все симметрии этого куста подчинены одной симметрии (10,10,10).
Марьяжных ДЛК второй куст симметрий не содержит.
