 Статус: Частенько заглядывает Группы: Member
Зарегистрирован: 08.10.2016(UTC)
Сообщений: 183
Сказал(а) «Спасибо»: 53 раз
Поблагодарили: 154 раз в 93 постах
|
На множестве симметрий ЛК10 существует отношение подчинённости. Например симметрия с кодом (31,41,42) подчинена симметрии с кодом (1,31,31) в том смысле, что всякий ЛК с симметрией (31,41,42) также обладает и симметрией (1,31,31). Все симметрии с нетривиальной парострофией (их коды имеют один или два плюса) в совокупности подчинены симметриям, соответствующим автотопиям, (их коды плюсов не имеют). Характер такой подчинённости выяснен ещё не полностью, но уже можно поставить задачу перечисления всех симметрий соответствующих автотопиям. Теоретически, изотопии могут иметь до 13244 различных кодов симметрии. Отбросим из них те, что заведомо не могут быть кодами автотопий. Сделаем это в три этапа. На первом этапе проверим выполнение следующего необходимого условия: если изотопия является автотопией, то каждому циклу позиций C длины d_c сопоставлен цикл значений V длины d_v такой, что: — d_v делит d_c; — d_v не делит d_a * k, для 1 <= k < (d_c / d_a); — d_v не делит d_b * k, для 1 <= k < (d_c / d_b). Здесь d_a длина какого-то цикла A перестановки строк, а d_b длина какого-то цикла B перестановки столбцов, и цикл позиций C образован циклами A и B, то есть d_c = lcm(d_a, d_b). Тип цикла позиций будем обозначать неупорядоченной парой (d_a,d_b). Для каждого возможного типа цикла позиций определим из необходимого условия множество допустимых длин циклов значений.
Код:
(1,1) -> {1}
(1,2) -> {2}
(1,3) -> {3}
(1,4) -> {4}
(1,5) -> {5}
(1,6) -> {6}
(1,7) -> {7}
(1,8) -> {8}
(1,9) -> {9}
(1,10) -> {10}
(2,2) -> {1,2}
(2,3) -> {6}
(2,4) -> {4}
(2,5) -> {10}
(2,6) -> {3,6}
(2,7) -> 0
(2,8) -> {8}
(2,9) -> 0
(2,10) -> {5,10}
(3,3) -> {1,3}
(3,4) -> 0
(3,5) -> 0
(3,6) -> {2,6}
(3,7) -> 0
(3,8) -> 0
(3,9) -> {9}
(3,10) -> 0
(4,4) -> {1,2,4}
(4,5) -> 0
(4,6) -> 0
(4,7) -> 0
(4,8) -> {8}
(4,9) -> 0
(4,10) -> 0
(5,5) -> {1,5}
(5,6) -> 0
(5,7) -> 0
(5,8) -> 0
(5,9) -> 0
(5,10) -> {2,10}
(6,6) -> (1,2,3,6}
(6,7) -> 0
(6,8) -> 0
(6,9) -> 0
(6,10) -> 0
(7,7) -> {1,7}
(7,8) -> 0
(7,9) -> 0
(7,10) -> 0
(8,8) -> {1,2,4,8}
(8,9) -> 0
(8,10) -> 0
(9,9) -> {1,3,9}
(9,10) -> 0
(10,10) -> {1,2,5,10}
Здесь нули обозначают пустое множество. Например, рассмотрим изотопию с кодом (19,32,33), соответствующие циклические структуры суть {1,1,2,6}, {2,2,2,4}, {2,2,3,3}, а их типы — {1,2,6}, {2,4}, {2,3}. Для симметрии не важно какая именно перестановка, из состава изотопии, является перестановкой значений, но это важно для применения критерия. И так как типы циклических структур все разные, то критерий применим трижды, и отвергнем изотопию если она не прошла проверку хотя бы один раз. Изотопия удовлетворяет необходимому условию, если для всех возможных выборов множества значений и для каждого соответствующего типа цикла позиций не пусто пересечение множества допустимых длин циклов значений с типом циклической структуры перестановки значений. Возьмём в нашем примере в качестве значений циклическую структуру с типом {1,2,6}, тогда типы {2,3} и {2,4} определяют возможные типы позиций и соответствующие им множества допустимых значений: Код:
(2,2) -> {1,2}
(2,3) -> {6}
(2,4) -> {4}
(3,4) -> 0
Пересечение этих множеств с множеством {1,2,6} пусто в третьем и четвёртом случаях. То есть изотопия с кодом (19,32,33) отвергается, но для полноты картины приведу и два других возможных выбора множества значений. Множество значений — {2,4} Циклы позиций определяются из — {1,2,6} и {2,3} Типы циклов и соответствующие множества значений: Код:
(1,2) -> {2}
(1,3) -> {3}
(2,2) -> {1,2}
(2,3) -> {6}
(2,6) -> {3,6}
(3,6) -> {2,6}
Пересечения с множеством значений: {2}, 0, {2}, 0, 0, {2}. Код симметрии допускается? — Нет. Множество значений — {2,3} Циклы позиций определяются из — {1,2,6} и {2,4} Типы циклов и соответствующие множества допустимы значений: Код:
(1,2) -> {2}
(1,4) -> {4}
(2,2) -> {1,2}
(2,4) -> {4}
(2,6) -> {3,6}
(4,6) -> 0
Пересечения с множеством значений: {2}, 0, {2}, 0, {3}, 0. Код симметрии допускается? — Нет. Всего через этот критерий проходят коды изотопий соответствующие следующим 39 тройкам типов циклических структур:
Код:
{1}{1}{1}
{1}{2}{2}
{1}{5}{5}
{1}{10}{10}
{1,2}{1,2}{1,2}
{1,2}{2}{2}
{1,2}{10}{10}
{1,3}{1,3}{1,3}
{1,3}{2,6}{2,6}
{1,4}{1,4}{1,4}
{1,4}{2,4}{2,4}
{1,5}{1,5}{1,5}
{1,5}{5}{5}
{1,5}{10}{10}
{1,6}{1,6}{1,6}
{1,6}{2,3}{2,3}
{1,6}{2,6}{2,6}
{1,7}{1,7}{1,7}
{1,8}{1,8}{1,8}
{1,8}{2,8}{2,8}
{1,9}{1,9}{1,9}
{1,2,3}{2,6}{2,6}
{1,2,4}{1,2,4}{1,2,4}
{1,2,4}{2,4}{2,4}
{1,2,5}{10}{10}
{1,2,6}{1,2,6}{1,2,6}
{1,2,6}{2,6}{2,6}
{1,3,6}{1,3,6}{1,3,6}
{1,3,6}{2,6}{2,6}
{2}{2}{2}
{2}{5}{10}
{2}{10}{10}
{5}{5}{5}
{5}{10}{10}
{10}{10}{10}
{2,3}{2,6}{2,6}
{2,4}{2,4}{2,4}
{2,6}{2,6}{2,6}
{2,8}{2,8}{2,8}
На втором этапе проверяем следующее необходимое условие: если какая-нибудь перестановка из состава автотопии имеет цикл единичной длины, то две другие перестановки имеют одинаковые циклические структуры. Через эту проверку проходят следующие 67 кодов симметрий:
Код:
(1,1,1)
(1,31,31)
(1,41,41)
(1,42,42)
(2,2,2)
(2,31,31)
(2,42,42)
(3,3,3)
(3,34,34)
(4,4,4)
(4,31,31)
(4,42,42)
(5,5,5)
(5,32,32)
(5,36,36)
(6,34,34)
(7,7,7)
(7,41,41)
(7,42,42)
(8,8,8)
(8,31,31)
(8,42,42)
(9,9,9)
(9,32,32)
(9,36,36)
(10,10,10)
(10,34,34)
(11,11,11)
(11,33,33)
(11,34,34)
(12,34,34)
(13,42,42)
(15,15,15)
(16,16,16)
(16,31,31)
(16,42,42)
(17,17,17)
(17,32,32)
(17,36,36)
(18,34,34)
(19,19,19)
(19,34,34)
(21,21,21)
(21,32,32)
(21,36,36)
(22,22,22)
(22,37,37)
(23,34,34)
(24,42,42)
(27,27,27)
(27,34,34)
(28,28,28)
(28,34,34)
(30,30,30)
(31,31,31)
(31,41,42)
(31,42,42)
(32,32,32)
(32,32,36)
(32,36,36)
(33,34,34)
(34,34,34)
(36,36,36)
(37,37,37)
(41,41,41)
(41,42,42)
(42,42,42)
Третий этап покажу на примере изотопии с кодом (11,33,33). Соответствующие циклические структуры суть {1,1,1,1,6}, {2,2,3,3}, {2,2,3,3}. Снова проверку выполняем для каждого возможного выбора множества значений. Код симметрии отвергается если он не прошёл проверку хотя бы раз. Построим следующую таблицу для выбора мультимножества длин циклов значений {2,2,3,3}: Код:
\ | 2| 2| 3| 3| sum
--------------------------
(1,2)| 2| 2| 0| 0| 16
(1,3)| 0| 0| 3| 3| 24
(2,6)| 0| 0| 6| 6| 24
(3,6)| 6| 6| 0| 0| 36
--------------------------
total| 20| 20| 30| 30| 100
Строки таблицы помечены типами циклов позиций. Каждому типу значений в таблице отведена колонка помеченная длиной соответствующего цикла значений. В клетках таблицы стоит длина соответствующего цикла позиций или ноль если циклу позиций данного типа не может быть сопоставлен цикл значений с соответствующей длиной. В колонке sum стоит число ячеек ЛК занимаемых всеми циклами позиций соответствующего типа. В строке total стоит число ячеек квази-ЛК имеющих значения соответствующего типа (= заголовок колонки умноженный на порядок ЛК). Очевидно, что сумма чисел из колонки sum равна сумме чисел из строки total и равна числу ячеек ЛК. Сопоставим этой таблице следующую систему уравнений: Код:
2*X11 + 2*X12 = 16
3*X23 + 3*X24 = 24
6*X33 + 6*X34 = 24
6*X41 + 6*X42 = 36
2*X11 + 6*X41 = 20
2*X12 + 6*X42 = 20
3*X23 + 6*X33 = 30
3*X24 + 6*X34 = 30
Очевидно, что если рассматриваемая изотопия является автотопией, то данная система уравнений имеет решение в целых неотрицательных числах. Это и есть необходимое условие проверяемое на третьем этапе. Для нашего примера система уравнений вовсе не имеет решений, поэтому изотопия с кодом (11,33,33) отвергается, но для полноты картины приведу соответствующую таблицу для второго возможного выбора мультимножества значений {1,1,1,1,6}: Код:
\ | 1| 1| 1| 1| 6| sum
------------------------------
(2,2)| 2| 2| 2| 2| 0| 16
(2,3)| 0| 0| 0| 0| 6| 48
(3,3)| 3| 3| 3| 3| 0| 36
------------------------------
total| 10| 10| 10| 10| 60| 100
Код:
2*X11 + 2*X12 + 2*X13 + 2*X14 = 16
6*X25 = 48
3*X31 + 3*X32 + 3*X33 + 3*X34 = 36
2*X11 + 3*X31 = 10
2*X12 + 3*X32 = 10
2*X13 + 3*X33 = 10
2*X14 + 3*X34 = 10
6*X25 = 60
Эта система тоже не имеет решений. Всего через третий этап проходят следующие 46 кодов симметрии:
Код:
(1,1,1)
(1,31,31)
(1,41,41)
(1,42,42)
(2,31,31)
(2,42,42)
(4,31,31)
(4,42,42)
(7,7,7)
(7,41,41)
(7,42,42)
(8,8,8)
(8,31,31)
(8,42,42)
(10,10,10)
(10,34,34)
(11,11,11)
(11,34,34)
(13,42,42)
(15,15,15)
(16,16,16)
(16,31,31)
(16,42,42)
(17,36,36)
(18,34,34)
(19,19,19)
(19,34,34)
(21,21,21)
(21,36,36)
(22,22,22)
(22,37,37)
(24,42,42)
(27,27,27)
(28,28,28)
(30,30,30)
(31,31,31)
(31,41,42)
(31,42,42)
(32,36,36)
(33,34,34)
(34,34,34)
(36,36,36)
(37,37,37)
(41,41,41)
(41,42,42)
(42,42,42)
Осталось ещё проверить существование ЛК с соответствующими автотопиями.
|
